What are the two primary conditions for a function $f$ to realize a bijection from an interval $I$ to $f(I)$?

The function $f$ must be both continuous on the interval $I$ and strictly monotone on $I$.

What is the range of the function $f(x) = x^2$ on the interval $I = \mathbb{R}^+$?

The image $f(\mathbb{R}^+)$ is exactly $\mathbb{R}^+$, as the function is strictly increasing on $[0, +\infty)$, with $f(0)=0$ and $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

How are the graphs of a function $f$ and its reciprocal $f^{-1}$ related geometrically?

The representative curves of $f$ and $f^{-1}$ in an orthonormal system are symmetric with respect to the first bisector, which has the equation $y=x$.

In the first exercise, why was the solution $y = 3 - \sqrt{x+4}$ chosen instead of $y = 3 + \sqrt{x+4}$?

The choice was based on the constraint that $y$ must belong to the domain $I = (-\infty, 3)$, which means $y-3$ must be strictly negative, necessitating the choice $y = 3 - \sqrt{x+4}$.

What technique was used to resolve the indeterminate form $\infty - \infty$ when calculating $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ in the second exercise?

The method used was multiplying by the conjugate expression, $x + \sqrt{x^2 - x}$, which simplified the numerator and allowed for further factorization and evaluation.

The Reciprocal Function - Limits and Continuity - 2Bac - [p8]

Fonction Réciproque d'une Fonction Continue et Strictement Monotone
📌 Si une fonction $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors elle réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$.
🔄 La fonction réciproque, notée $f^{-1}$ , existe, est définie de $f(I)$ vers $I$, et conserve le même sens de variation que $f$.
📉 Le taux d'accroissement de $f^{-1}$ est l'inverse du taux d'accroissement de $f$: $\frac{f^{-1}(y_1) - f^{-1}(y_2)}{y_1 - y_2} = \frac{1}{\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}}$ où $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$ .
🖼️ Les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y=x$.

Propriété des Fonctions Composées Réciproques
🔗 Si $f: I \to J$ et $g: J \to K$ sont des bijections, alors la réciproque de la composée $(g \circ f)^{-1}$ est donnée par $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ .

Exemple 1: $f(x) = x^2 - 6x + 5$ sur $I = ]-\infty, 3[$
✅ $f$ est continue car c'est une fonction polynomiale.
🔪 La dérivée est $f'(x) = 2x - 6 = 2(x-3)$. Pour $x \in ]-\infty, 3[$ , $x-3 < 0$, donc $f'(x) < 0$, ce qui signifie que $f$ est strictement décroissante.
📊 $f$ réalise une bijection de $I$ vers $J=f(I) = ]-4, +\infty[$ .
🔄 La fonction réciproque est $f^{-1}(x) = 3 - \sqrt{x+4}$ pour $x \in ]-4, +\infty[$ .

Exemple 2: $f(x) = x - \sqrt{x^2 - x}$ sur $I = [1, +\infty[$
✅ $f$ est continue car somme de fonctions continues et $\sqrt{x^2-x}$ est définie et continue puisque $x^2-x = x(x-1) \ge 0$ pour $x \ge 1$ .
📉 La dérivée $f'(x) = 1 - \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$ est montrée comme étant strictement négative pour $x > 1$ par équivalence logique, confirmant que $f$ est strictement décroissante.
📊 $f$ réalise une bijection de $I=[1, +\infty[$ vers $J=f(I) = ]1/2, 1]$. ($f(1)=1$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1/2$ ).
🔄 La fonction réciproque est $f^{-1}(x) = \frac{x^2}{2x-1}$ pour $x \in ]1/2, 1]$ .

Key Points & Insights
➡️ Pour prouver qu'une fonction $f$ réalise une bijection sur un intervalle $I$, il est nécessaire de démontrer qu'elle est à la fois continue et strictement monotone sur $I$.
➡️ Pour trouver $f^{-1}(x)$ , établir l'équation $f(y) = x$ et résoudre pour $y$ en fonction de $x$, en utilisant les contraintes sur le domaine et l'image pour choisir la bonne expression (ex: bonne racine).
➡️ Lors du calcul de la dérivée ou de limites impliquant des racines, soyez attentif aux ouvertures/fermetures des intervalles, notamment pour la définition du domaine de dérivabilité.
➡️ Lorsque l'on met une équation au carré pour éliminer une racine, il faut vérifier la réciproque de l'implication (sauf si les deux côtés sont garantis positifs) pour maintenir l'équivalence.

📸 Video summarized with SummaryTube.com on Oct 07, 2025, 19:33 UTC

The Reciprocal Function - Limits and Continuity - 2Bac - [p8]

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